// TP 2 MT12 P25

/// /// /// /// /// /// /// /// PARTIE 1 : Récursivité  //////////////////



   clear
   
   
   
    function U=Suite(n)
        if n<1 then
         U = null
        elseif n == 1 then
                    U=1 
                    else
                    U = Suite(n - 1) / 2 // Calcule U_n puis le divise par 2.
        end
    endfunction

    if exists('u') then disp('u')
    end
// ------------
// Q1
//------------
 
    function U= suite_1(n)
        if n<0 then
         U = null
        elseif n ==0  then
                    U=1 
                    else
                    U = suite_1(n - 1) +1  // 
        end
    endfunction

// ------------
// Q2
//------------

    function U= suite_Fibo(n)
        if n<0 then
         U = null
        elseif n ==0 | n ==1  then
                    U=1 
                    else
                    U = suite_Fibo(n-1)+ suite_Fibo(n-2)  
        end
    endfunction

// ------------
// Q3
//------------

    function U= f(n,x)
        if n<0 then
         U = null
        elseif n ==0 then
                    U=x 
                    else
                    U = f(n-1,x).*x  
        end
    endfunction

// ------------
// Q4
//------------
scf()
    n=50
    x=linspace(-1,1,n)
    title("Suites de Fonctions")
    plot(x, f(0, x), 'r')
    plot(x, f(1, x), 'g')
    plot(x, f(2, x), 'b')


/// /// /// /// /// /// /// /// PARTIE 2 Polynome de Legendre  //////////////////

clear 

// ------------
// Q5
//------------

    function y=LegendreP(n,x)
        if n<0 then 
            y= null        
        elseif n==0 then
            y=1;
        elseif n==1 then
            y=x;
        elseif n>1  then
            y=(1/n).*((2*(n-1)+1).*x.*LegendreP(n-1,x)-(n-1).*LegendreP(n-2,x)) 
            end
    endfunction

// ------------
// Q6
//------------

    a_0=sqrt(2)*sinh(1);
    a_1=-sqrt(6)/exp(1);
    a_2=(exp(2)-7)/exp(1)*sqrt(5/2);
    a_3=(5*exp(2)-37)/exp(1)*sqrt(7/2);
    a_4=3*sqrt(2)*(18*exp(2)-133)/exp(1);
    a_5=(329*exp(2)-2431)/exp(1)*sqrt(11/2);
    a_6=(3655*exp(2)-27007)/exp(1)*sqrt(13/2);

    A=[a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6]

   /* int_[-1,1] exp(-2x) dx= (1/2) (exp(2)-exp(-2))=sinh(2) */
     
  
    disp(sinh(2)-sum(A.^2))


// ------------
// Q7
//------------
    x = linspace(-1,1,400);

    
    scf()
    subplot(3,1,1)
     co=['r','g','b','y','c','m','k']
    for i=0:6
        plot(x, LegendreP(i, x),co(i+1))
    end
 title("Polynômes de Legendre")
    /* Alternative de plot 
    plot(x, LegendreP(0, x),'r')
    plot(x, LegendreP(1, x),'g')
    plot(x, LegendreP(2, x),'b')
    plot(x, LegendreP(3, x),'y')
    plot(x, LegendreP(4, x),'c')
    plot(x, LegendreP(5, x),'m')
    plot(x, LegendreP(6, x),'k')*/
  


    // Approximation  
    
    // Norme des poly de Legendre 
        function y=normL(k)
        y=sqrt(2/(2*k+1));
        endfunction
    
     // Approx sur la famille des poly Legendre (sans boucle for)
         x = linspace(-1,1,400)         
         LegendreP_f_6=[ones(1,length(x))*LegendreP(0,x)/normL(0);LegendreP(1,x)/normL(1);                      LegendreP(2,x)/normL(2);LegendreP(3,x)/normL(3) ;
                    LegendreP(4,x)/normL(4);LegendreP(5,x)/normL(5);LegendreP(6,x)/normL(6)]
        pi_6f= A*LegendreP_f_6
        y=pi_6f
        err_exp=exp(-x)-y
     
     
    
    // Alternative Approx sur la famille des poly Legendre avec une boucle for 
    function y=approx_Le(A,k,x)
        B=ones(1,k+1);
        for i=0:k 
            B(1,i+1)=(LegendreP(i, x))./normL(i);
        end
        y=sum(B.*A);
    endfunction
    //Vecteur des images de l'approx
     
    y=zeros(1,length(x))
    for i=1:length(x)
        y(i)=approx_Le(A,6,x(i));
    end
    /* Alternative  approx de Legendre */
     function y=approx_Le_Alt(A,k,x)
        B=ones(k+1,length(x));
        for i=0:k 
            B(i+1,:)=(LegendreP(i, x))./normL(i);
        end
        y= A*B
    endfunction
    // fonction d'erreur 
    function z=err_exp(x,k)
        z=zeros(1,length(x))
    for i=1:length(x)
        z(i)=exp(-x(i)) - approx_Le(A,6,x(i))  ;
    end
    endfunction
    
   
   
    // PLOT de l'approximation 
    scf()
    subplot(3,1,2)
    plot(x,exp(-x),'ob')
    plot(x,y,'+g')
    title("Fonction exp(-x) et son approximation")
   
    
    subplot(3,1,3)
   
    z=err_exp(x,6);
    plot(x,z)    
    title("Erreur approximation")
    
 

// ------------
// Q8 -- Q12 sur la fonction valeur abs sur [-1,1]
//------------
    function y=coeff(k)
        if k<0 then
         y = null
         elseif k/2 ~= floor(k/2)
                then y=0
                else y= (2/normL(k))*integrate('x*LegendreP(k, x)','x',0,1)
        end
    endfunction
    
    C=[coeff(0),coeff(2),coeff(4),coeff(6)]
    
    x = linspace(-1,1,400);
    
    
    
    // Approximation Legendre sans boucle for 
         LegendreP_abs_6=[ones(1,length(x))*LegendreP(0,x)/normL(0) ;LegendreP(2,x)/normL(2);
         LegendreP(4,x)/normL(4); LegendreP(6,x)/normL(6)]
         
         LegendreP_abs_4=  LegendreP_abs_6(1:3,:)
          
         LegendreP_abs_2=  LegendreP_abs_6(1:2,:)
         
         y2=C(1,1:2)* LegendreP_abs_2
         y4=C(1,1:3)* LegendreP_abs_4
         y6=C* LegendreP_abs_6
         Y=[y2; y4; y6]
         // Erreur d'approx
         err=repmat(abs(x),3,1)-Y
    
    
   // Alternative Approximation Legendre (boucle for))
        D=zeros(length(x),4);
        for i=1:length(x)
        D(i,:)=[ C(1)*LegendreP(0,x(i))/normL(0), C(2)* LegendreP(2,x(i))/normL(2),C(3)* Legendre    P(4,x(i))/normL(4), C(4)*LegendreP(6,x(i))/normL(6)];
        end
    
        y2= sum(D(:,1:2),"c")  ; // pi_2f(x))
        y4= sum(D(:,1:3),"c")  ; // pi_4f(x))
        y6= sum(D,"c")        ;  // pi_6f(x) )     
    
        Y=[y2'; y4'; y6'];
   
    // Erreur d'approx
        err=zeros(length(x),3);
        for i=1:3
        err(:,i)=abs(x)-Y(i,:);
        end 
    
        scf()
        subplot(2,1,1)
        title("abs,Approximation k=2, k=4, k=6")
        plot(x,[abs(x); y2; y4; y6])
        legend(['ordre2' ;'ordre4' ;'ordre6'],4) // position de la légende

  
       subplot(2,1,2)
       title("Erreurs Approximation k=2, k=4, k=6")
       plot(x,err(1,:),co(1))
       plot(x,err(2,:),co(2))
       plot(x,err(3,:),style=co(3))
       legend(['ordre2' ;'ordre4' ;'ordre6'],4)