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    "---\n",
    "## MT94 - P2026\n",
    "### Chapitre *Problèmes non linéaires 1* (F. De Vuyst)\n",
    "### Cas vectoriel, méthode de Newton-Raphson et applications\n",
    "### TP n° 2 - 26 mars 2026\n",
    "---"
   ]
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    "### Ex 1 . - La fonction ```fsolve()``` de ```Scilab```\n",
    "La fonction prédéfinie ```fsolve()``` \n",
    "\n",
    "```\n",
    "[x [,v [,info]]] = fsolve(x0, fct [,fjac] [,tol])\n",
    "```\n",
    "\n",
    "de ```Scilab``` permet de résoudre un système d'équations algébriques non linéaires\n",
    "écrit sous forme condensée\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\mathbf{F}(\\mathbf{x}) = \\mathbf{0}.\n",
    "$$"
   ]
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    "Dans cet exercice, considérez l'application $F:\\mathbb{R}^2\\to \\mathbb{R}^2$ définie par\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "F(x_1,x_2) = \\begin{pmatrix} x_1\\cos(x_2) -4\\\\ x_1x_2-x_2 -5 \\end{pmatrix}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Utilisez ```fsolve(F, x0)``` pour trouver une racine $\\mathbf{x}^\\star$ de $\\mathbf{F}$, en partant de la donnée initiale $\\mathbf{x}=(1,1)^T$."
   ]
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    "### Ex 2. - Méthode  Newton-Raphson\n",
    "\n",
    "Ecrire une fonction `Scilab`\n",
    "\n",
    "```\n",
    "function [xout, nout, Fout] = NewtonRaphson(x0, foncjac, nmax, tol)\n",
    "```\n",
    "\n",
    "qui résout $\\mathbf{F}(\\mathbf{x})=\\mathbf{0}$ en utilisant la méthode de Newton-Raphson \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\mathbf{x}_{n+1} = \\mathbf{x}_n - [J(\\mathbf{x}_n)]^{-1}\\, \\mathbf{F}(\\mathbf{x}_n)\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "avec `x0` comme donnée initiale (vecteur),  la fonction ```foncjac()```\n",
    "\n",
    "```\n",
    "function [F, J] = foncjac(x)\n",
    "``` \n",
    "\n",
    "qui retourne à la fois $F(\\mathbf{x})$ et $J(\\mathbf{x})$ la matrice jacobienne de\n",
    "$\\mathbf{F}$ au point $\\mathbf{x}$, `nmax` est le nombre maximum d'itérations (en cas de non-convergence),  `tol` est la tolérance pour le critère d'arrêt :\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\|\\mathbf{F}(\\mathbf{x}_n)\\| \\leq \\text{tol}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "La fonction```NewtonRaphson()``` retourne l'approximation de la racine $\\mathbf{x}_{out}$ , l'itération $n_{out}$\n",
    "pour laquelle le critère d'arrêt est satisfait, et $F_{out}=\\mathbf{F}(\\mathbf{x}_{out})$."
   ]
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    "Vérification : écrire une fonction```foncjac()``` et tester votre fonction  ```NewtonRaphson()``` pour l'application de $\\mathbb{R}^2$\n",
    "dans $\\mathbb{R}^2$ suivante :\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "F(\\mathbf{x}) = \\begin{pmatrix} x_1^2 - 2 \\\\ x_1^4 + x_2^2 - 5 \\end{pmatrix} \n",
    "$$\n",
    "\n",
    "(racines évidentes $(\\pm\\sqrt{2},\\pm 1)^T$ ), prenant $\\mathbf{x}^0=(4,9)$, $n_{max}=20$, $tol=10^{-14}$\n"
   ]
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    "Utiliser à nouveau `NewtonRaphson()` pour l'application et la donnée initiale données en exercice 1."
   ]
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   "source": [
    "### Ex 3. - Application : bras articulé à 3 sections\n",
    "\n",
    "On considère ici un bras articulé à trois sections de longueurs respectives $\\ell_1$, $\\ell_2$ and $\\ell_3$. \n",
    "Le bras articulé est fixé à l'origine à l'aide d'une rotule.\n",
    "L'autre extrémité est libre, de position représentée par le point $M(x,y)$. \n",
    "Il y trois angles $\\theta_1, \\theta_2,\\theta_3$ entre l'axe des $x$ et les sections. \n",
    "\n",
    "Objectif : on souhaite que le point $M(x,y)$ atteigne la position cible $A(x_A,y_A)$. \n",
    "Les deux contraintes à satisfaire sont\n",
    "\n",
    "\\begin{align*}\n",
    "& \\ell_1 \\cos \\theta_1 + \\ell_2 \\cos\\theta_2 + \\ell_3\\cos\\theta_3 = x_A, \\\\\n",
    "& \\ell_1 \\sin \\theta_1 + \\ell_2 \\sin\\theta_2 + \\ell_3\\sin\\theta_3 = y_A.\n",
    "\\end{align*}\n",
    "\n",
    "Comme il y a deux équations pour trois inconnues (les angles), le système est\n",
    "sous-déterminé. On peut ajouter une condition supplémentaire (préférence) \n",
    "sur les angles. Soit\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\theta_A = \\arctan (y_A/x_A)\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "l'angle formé entre l'axes des $x$ et le segment $OA$. On demande alors que les angles $\\theta_1,\\theta_2,\\theta_3$ satisfassent la contrainte\n",
    "supplémentaire d'angle moyen pondéré par les longueurs\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\frac{\\ell_1 \\theta_1+\\ell_2\\theta_2+\\ell_3\\theta_3}{\\ell_1+\\ell_2+\\ell_3} = \\theta_A.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Ecrire le système algébrique sous la forme condensée $\\mathbf{F}(\\mathbf{X})=\\mathbf{0}$. \n",
    "\n",
    "Résoudre ensuite numériquement le problème en utilisant la méthode de Newton-Raphson.\n",
    "\n",
    "Utiliser `plot()` pour tracer le bras articulé résultant.\n",
    "On affichera aussi les valeurs des angles trouvées.\n",
    "\n",
    "Paramètres : $A=(6,4)$, $(\\ell_1,\\ell_2,\\ell_3) = (4,3,2)$."
   ]
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    "Résoudre le problème pour la cible $A=(4,6)$."
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    "'Résoudre' numériquement le problème pour la cible $A=(9,9)$. Que se passe-t-il ?"
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   "source": [
    "### Ex 4. - Application \n",
    "#### Recherche d'une paire (valeur propre - vecteur propre) pour une matrice symétrique $A$.\n",
    "\n",
    "La recherche de couples valeur propre-vecteur propre $(\\mathbf{x},\\lambda)$ solutions de \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "A\\mathbf{x}=\\lambda\\, \\mathbf{x}\n",
    "$$ \n",
    "\n",
    "peut être réalisée par la résolution d'un système algébrique non linéaire d'inconnues $(\\mathbf{x},\\lambda)^T$. \n",
    "\n",
    "En cherchant un vecteur unitaire $\\mathbf{x}$ ($\\|\\mathbf{x}\\|=1$), on cherche \n",
    "$\\mathbf{X}=(\\mathbf{x},\\lambda)^T$ tel que\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\left\\{\\begin{array}{l}\n",
    "A\\mathbf{x} - \\lambda\\, \\mathbf{x} = 0, \\\\\n",
    "\\|\\mathbf{x}\\|^2 - 1 = 0.\n",
    "\\end{array}\\right.\n",
    "$$ \n",
    "\n",
    "On a à résoudre $\\mathbf{F}(\\mathbf{X})=\\mathbf{0}$ avec\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\mathbf{F}(\\mathbf{X}) \n",
    "= \\begin{pmatrix} \n",
    "    A\\mathbf{x} - \\lambda\\, \\mathbf{x}  \\\\ \n",
    "    \\|\\mathbf{x}\\|^2 - 1  \n",
    "  \\end{pmatrix}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "On se limite ici au cas $A$ symétrique. Le problème a-t-il une solution à coefficients réels ? La racine est-elle unique ?\n",
    "\n",
    "Déterminer sur papier la matrice jacobienne $J(\\mathbf{x})$ de $\\mathbf{F}$ \n",
    "au point $\\mathbf{x}$. Ecrire ensuite une fonction `Scilab` \n",
    "\n",
    "```\n",
    "function [y, J] = Fvp(X)\n",
    "```\n",
    "\n",
    "qui calcule $\\mathbf{y}=\\mathbf{F}(\\mathbf{X})$ ainsi que la matrice jacobienne $J(\\mathbf{X})$ de $\\mathbf{F}$. \n"
   ]
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   "source": [
    "Pour l'application numérique, on prendra la matrice (symétrique) :\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "A = \\begin{pmatrix}\n",
    "2 & -1 & 0 \\\\\n",
    "-1 & 2 & -1 \\\\\n",
    "0 & -1 & 2\n",
    "\\end{pmatrix}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Utilisez la méthode de Newton-Raphson précédente avec les paramètres d'entrée suivants :\n",
    "$X^0=((1,1,1), 1)^T$, $n_{max}=30$, $\\text{tol}=10^{-15}$.\n",
    "\n",
    "Vérifiez que vous avez bien trouvé une paire (valeur propre-vecteur propre) de\n",
    "$A$ en affichant le résultat de \n",
    "\n",
    "```\n",
    "A*xout - lambda_out*xout\n",
    "```"
   ]
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   "source": [
    "### Ex 5.- Caractérisation des paramètres mécaniques (problème inverse)\n",
    "\n",
    "Un système masse-ressort est fixé verticalement à un plafond. L'objet pesant fixé au ressort est de masse $m$. Sous l'influence de la gravité $g$, le ressort subit un déplacement de longueur $u$. Si on appelle $F_{el}$ la force de rappel élastique, l'équilibre statique se traduit par l'équation\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "F_{el} + mg = 0.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Le matériau a un comportement non linéaire, de loi générale\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "F_{el} = - ku - \\alpha u^\\beta\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "avec $k,\\alpha,\\beta>0$ les paramètres de la loi mécanique. Comment déterminer expérimentalement $k$, $\\alpha$ et $\\beta$ ? (indication : on a le droit d'utiliser plusieurs masses). "
   ]
  },
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   "source": [
    "On effectue expérimentalement 3 mesures de déplacements du ressort avec 3 masses différentes (voir tableau ci-dessous). La gravité $g$ est $9.81$ $m.s^{-2}$. Déterminer les \n",
    "paramètres $k$, $\\alpha$ et $\\beta$.\n",
    "\n",
    "| Masse m | Déplacement u |\n",
    "|:-------- |:--------:|\n",
    "| 0.1     | 0.096   |\n",
    "| 0.2     | 0.123   |\n",
    "| 0.3     | 0.141   |"
   ]
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      " u = \n",
      "   0.1409799"
     ]
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    "function [res] = static(u)\n",
    "    m = 0.3 \n",
    "    g = 9.81\n",
    "\n",
    "    k = 1.0\n",
    "    alpha = 1000.0\n",
    "    beta = 3.0\n",
    "\n",
    "    res = k * u + alpha * u^beta - m*g\n",
    "endfunction\n",
    "\n",
    "u = fsolve(0.1, static)\n",
    "\n"
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