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    "# MT94/P26/TD - Systèmes dynamiques"
   ]
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   "source": [
    "## Equation de Duffing\n",
    "### Système autonome\n",
    "On considère l'équation différentielle\n",
    "$$\n",
    "x'' + k x' -x + x^3 = 0,\n",
    "$$\n",
    "avec $k=0.15$.\n",
    "1. Mettre cette équation différentielle sous forme d'un système d'équations différentielles du premier ordre en temps"
   ]
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    "$$\n",
    "X' = f(t,X),\n",
    "$$\n",
    "puis déterminer les points d'équilibre de ce système. Ces points d'équilibre sont-ils stables ou instables ? "
   ]
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   "source": [
    "Utiliser la fonction `cvode` de Scilab pour calculer la solution de l'équation différentielle avec des conditions initiales $X(0)$ choisies de manière à illustrer les résultats établis à la question précédente. On pourra par exemple représenter le champ de vecteurs $f(X)$ et les solutions obtenues dans le plan de phase $(O,X_1,X_2)$."
   ]
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   "source": [
    "## Système non autonome\n",
    "On considère maintenant l'équation différentielle\n",
    "$$\n",
    "x'' + k x' -x + x^3 = b\\cos t,\n",
    "$$\n",
    "avec $b=0.3$ et pour conditions initiales $x(0)=\\dot x(0)=0$.\n",
    "1. Calculez avec `cvode` la solution de l'équation différentielle pour $t\\in[0,40\\pi]$.\n",
    "   "
   ]
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    "2. Calculez la solution en prenant les conditions initiales $x(0)=10^{-6},\\dot x(0)=0$. Superposer les deux solutions obtenues et commentez le phénomène observé."
   ]
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   "source": [
    "## Equation de Van der Pol\n",
    "On considère l'équation différentielle\n",
    "$$\n",
    "x'' - \\mu (1-x^2)x' + x = 0.\n",
    "$$\n",
    "1. Calculer les points d'équilibre et déterminer leur stabilité."
   ]
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   "source": [
    "2. Illustrer le résultat obtenu à la question précédente en approchant la solution de l'équation différentielle pour un choix adéquat de condition initiale. On pourra prendre des valeurs de $\\mu$ comprises entre 0.01 et 5.Commenter les résultats obtenus."
   ]
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   "source": [
    "## Système proie-prédateur (Lokta-Volterra)\n",
    "\n",
    "$$\\begin{align}\n",
    "x'&=x(\\alpha-\\beta y)\\\\\n",
    "y'&=-y(\\gamma-\\delta x)\n",
    "\\end{align}\n",
    "$$\n",
    "Etudiez les points fixes et simulez le système pour\n",
    "$\\alpha=2$, $\\beta=10^{-3}$, $\\gamma=10$, $\\delta=2.10^{-3}$."
   ]
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   "source": [
    "## Système de Lorenz\n",
    "\n",
    "Etudiez les éventuels points fixes du système de Lorenz\n",
    "\\begin{align*}\n",
    "x'&=\\sigma(y-x),\\\\\n",
    "y'&=\\rho x-y-xz,\\\\\n",
    "z'&=xy-\\beta z,\n",
    "\\end{align*}\n",
    "où $\\sigma$, $\\rho$ et $\\beta$ sont des nombres positifs. Représentez les trajectoires du système de Lorenz pour $\\sigma=10$, $\\rho=28$, $\\beta=\\frac{8}{3}$. "
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