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    "Notebook Jupyter      UTC MT12 \n",
    "$$  \\text{UTC MT12} \\quad \\quad  \\text{TP} 3 $$"
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    "###### Cette cellule est une cellule Markdown\n",
    "Dans ce TP, on étudie la convergence des séries de Fourier de certaines fonctions. On commence dans un premier temps par une méthode permettant d'approcher la valeur de l'intégrale d'une fonction sur un intevalle.\n",
    "\n",
    "###### Cette cellule est une cellule Markdown"
   ]
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    "#### Plan \n",
    "[1. Intégration d'une fonction continue sur un intervalle borné](#1.-Intégration-d-'-une-fonction-continue-sur-un-intervalle-borné)\n",
    "\n",
    "[2. Convergence ponctuelle de la série de Fourier d'une fonction périodique régulière](#2.-Convergence-ponctuelle-de-la-série-de-Fourier-d-'-une-fonction-périodique-régulière)\n",
    "\n",
    "[3. Phénomène de Gibbs pour une fonction périodique discontinue](#3.-Phénomène-de-Gibbs-pour-une-fonction-périodique-discontinue)"
   ]
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    "# 1. Intégration d'une fonction continue sur un intervalle borné"
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    "Soit $[a,b]$ avec $a<b$, un intervalle fermé et borné de $\\mathbb{R}$ et $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Nous nous intéressons à déterminer une valeur approchée de $$I= \\int_a^b f(x) \\, dx$$\n",
    "\n",
    "Pour ce faire, nous utilisons la méthode des rectangles (voir la Figure \"Fig 1\" pour une illustration), qui fournit un encadrement de l'intégrale de Riemann comme suit : \n",
    "\\begin{align*}\n",
    "I_-(N) \\leq \\int_a^b f(x)\\, dx \\leq I_+(N), \\qquad \n",
    "N \\geq 1, \\; N\\; \\text{est un entier fixé}\n",
    "\\end{align*}\n",
    "$$\\begin{array}{rl} \\text{avec} &  I_-(N) =  h \\sum_{k=1}^N \\min\\left\\{ f(x): x\\in [a+(k-1)h,a+kh[ \\right\\}, \\qquad (1) \\\\  & I_+(N) = h \\sum_{k=1}^N \\max\\left\\{ f(x): x\\in [a+(k-1)h,a+kh[ \\right\\}\\qquad(2) \\\\ \n",
    "\\text{et} & h=\\frac{b-a}{N}\\end{array}$$\n",
    "\n",
    "###### Cette cellule est une cellule Markdown"
   ]
  },
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    "<img src=\"TP3_Fig_1.jpg\" width=100% height=100% style=\"margin:auto\" /> "
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    "## 1.1 Questions"
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    "Dans un premier temps, on cherche à coder une fonction  $$[N,I_-,I_+] = \\text{Riemann}(f, a, b, \\varepsilon),$$ qui retourne un entier $N=N(\\varepsilon)$ (idéalement le plus petit possible) et un encadrement de l'intégrale $I$ avec une précision $\\varepsilon$ imposée et garantissant la relation \n",
    "$$I_+(N)-I_-(N) \\leq \\varepsilon \\qquad (3)$$ \n",
    "\n",
    "Notons que l'inégalité suivante est toujours satisfaite : $0\\leq I_+(N)-I_-(N)$."
   ]
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   "source": [
    "**Remarque** \n",
    "\n",
    "En pratique, le $\\min$ et le $\\max$ qui interviennent dans les formules (1) et (2) ci-dessus seront évalués (approchés) sur une grille plus fine (20 points par subdivision par exemple). \n",
    "\n",
    "En effet, pour  évaluer le $\\max$ (ou le $\\min$) de $f$ sur les intervalles de la forme $[a+(k-1)h, a+kh[$ pour $1 \\leq k \\leq N$, on considère :  $$f_k^{\\min} = \\min_{j\\in\\{0,19\\}} f(a+(k-1)h+j h/20),\\quad f_k^{\\max} = \\max_{j\\in\\{0,19\\}} f(a+(k-1)h+j h/20),$$ \n",
    "puis on définit $$ I_-(N) = h \\sum_{k=1}^N f_k^{\\min}\\quad  \\text{et} \\quad I_+(N) = h \\sum_{k=1}^N f_k^{\\max}$$ \n",
    "\n",
    "Dans l'algorithme, on initialisera $N$ à une \"petite\" valeur (par exemple $N=1,2,3$), puis on si la condition (3) n'est pas satisfaite, on multipliera $N$ par $2$, et on  répétera l'opération jusqu'à ce que la condition (3) soit satisfaite. "
   ]
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    "### Q1  Compléter le code suivant afin d'obtenir une valeur approchée de $I$ à $\\epsilon$ près et la valeur de $N(\\epsilon)$ associée."
   ]
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    "import numpy as np\n",
    "def Riemann (f,a,b,epsilon):\n",
    "    N=1\n",
    "    done = bool(0) # booléen \"False\"\n",
    "    nsubdiv=20     # approximation du min et du max sur une grille de taille 20 dans chaque sous-intervalle\n",
    "    while not done:  #tant que 'not done == True\"\n",
    "        N=2*N\n",
    "        Iplus=0\n",
    "        Imoins=0\n",
    "        for k in range(N):\n",
    "            Ik = [a+k*(b-a)/N, a+(k+1)*(b-a)/N]\n",
    "            subdiv = np.linspace(float(Ik[0]), float(Ik[1]), nsubdiv)\n",
    "            fmin= ...\n",
    "            fmax= ...\n",
    "            Imoins= ...\n",
    "            Iplus= ...\n",
    "        done = (Iplus-Imoins< epsilon)\n",
    "    return [N,Imoins,Iplus]\n",
    "\n",
    "\n",
    "###### Cette cellule est une cellule Raw"
   ]
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    "### Q2 Appliquer votre code précédent à la fonction $f(x)=\\sin(\\pi x)$ pour approcher $$ I=\\int_0^1 \\sin(\\pi x)\\, dx, \\quad \\text{ en prenant} \\; \\varepsilon=10^{-4}$$\n",
    "\n",
    "Pour cela,\n",
    "* calculer $I$ à la main\n",
    "* coder  la fonction $f_{\\sin}$ qui à $x$ dans $[0,1]$ retourne $f(x)=\\sin(\\pi x)$\n",
    "* cxécuter \"Riemann$(f_{\\sin},0,1,0.0001)$\"\n",
    "* calculer cette même valeur en important la bibliothèque \"scipy integrate\" par la ligne de commande \"from scipy.integrate import quad\"\n",
    "* exécuter \"$I_{num}=quad(f_{\\sin},0,1)$\" qui retourne la valeur approchée nuùériquement de l'intégration de $f$ sur l'intervalle $(0,1)$ ainsi que son erreur\n",
    "* comparer $I_{num}$ et $I$ aux sorties $I_{-}(N)$ et $I_+(N)$ de la fonction Riemann."
   ]
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   "source": [
    "### Q3 Comparaison avec la méthode des rectangles\n",
    "En reprenant le TD du Chapitre 1, coder la méthode des rectangles à gauche pour approcher la valeur de $I$ à une erreur d'approximation inférieure ou égale à $\\varepsilon=10^{-4};$ vérifier que cette erreur est bien inférieure à la valeur de sa majoration donnée en TD: \n",
    "\\begin{align*}\n",
    "I\\approx I_{app,rect}& =\\frac{b-a}{N} \\sum_{k=0}^{N-1}f(x_k), \\quad a=0=x_0<x_1< \\cdots <x_N=1=b, \\quad x_{k+1}-x_k=\\frac{1}{N}, \\\\\n",
    " |I-I_{app,rect}| & \\leq \\frac{(b-a)^2}{2N} \\sup_{x\\in [a,b]} \\;|f'(x)|= \\frac{\\pi}{2N}\n",
    "\\end{align*}"
   ]
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    "# 2.  Convergence ponctuelle de la série de Fourier d'une fonction périodique régulière"
   ]
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   "source": [
    "On considère la fonction périodique $f$ de période $T=2$ définie sur l'intervalle $[0,2]$ par: $$f(x)= \\left\\{ \\begin{array}{ll}  x & \\mbox{si } x \\in [0,1[,\\\\  2-x & \\mbox{si } x \\in [1,2]. \\end{array} \\right.$$ Cette fonction est étendue sur $\\mathbb{R}$ de manière périodique. "
   ]
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    "## 2.2 Questions"
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    "#### Q4 Tracer la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,2]$, puis sur $[-3,3]$."
   ]
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    "#### Q5 Calculer  (à la main) les coefficients de Fourier de $f$ $$a_k(f) =\\frac2T \\int_{0}^T f(x)\\cos(2k\\pi \\frac{x}{T})\\, dx, \\quad k \\in \\mathbb{N}$$  et $$b_k(f) = \\frac2T \\int_0^T f(x)\\sin(2k\\pi \\frac{x}{T})\\, dx, \\quad k \\in \\mathbb{N}^*.$$"
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    "#### Pour $N\\geq 1$ on définit la suite $(f_N)_{N\\geq 1}$, des sommes partielles de Fourier de $f$, par $$f_N(x) = \\frac{a_0(f)}{2} +\\sum_{k=1}^N \\left( a_k (f) \\, \\cos(k \\pi x) + b_k (f) \\, \\sin(k\\pi x) \\right) \\quad (4)$$"
   ]
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    "#### Q6 Montrer (à la main) via un changement d'indice, que pour tout $N\\geq 0$ on a $$f_{2N+1}(x) = \\frac{1}{2} -\\frac{4}{\\pi^2} \\sum_{k=0}^N \\frac{\\cos((2k+1)\\pi x)}{(2k+1)^2}$$"
   ]
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    "#### Q7  Sur l'intervalle $[0,2]$ comparer graphiquement les fonctions $f_{2N+1}$ et $f$. On tracera ces courbes pour les différentes valeurs de $N$ suivantes : $N=2$, $4$, $8$, $16$, $32$, $64$, $128$ et $256$."
   ]
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    "#### Q8 Y a-t-il convergence ponctuelle  (convergence normale) ? Si oui,  ce résultat est-il conforme à un théorème vu en cours (lequel) ?"
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    "# 3. Phénomène de Gibbs pour une fonction périodique discontinue"
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    "## 3.1 Questions"
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   "source": [
    "####  On considère la fonction périodique $g$ de période $T=2$ définie sur l'intervalle $[-1,1]$ par:$$g(x) = \\left\\{\\begin{array}{ll}-1-x & \\text{si } x \\in [-1,0[,\\\\  1-x & \\text{si } x \\in [0,1].\\end{array}\\right.$$ Cette fonction est étendue sur $\\mathbb{R}$ de manière périodique. "
   ]
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    "### Q9 Tracer la fonction $g$ sur l'intervalle $[-1,1]$, puis sur $[-4,4]$."
   ]
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    "### Q10  Calculer (à la main) les coefficients de Fourier de $g$."
   ]
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   "source": [
    "### Q11 Comme dans la section précédente on considère la suite $(g_N)_{N \\geq 1}$, où $g_N$ est donnée par (4). Sur l'intervalle $[-1,1]$, comparer graphiquement les fonctions $g_N$ et $g$. On tracera les courbes pour les valeurs de  $N=2$, $4$, $8$, $16$, $32$ et $256$. "
   ]
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    "### Q12 Que valent  $g(0)$ et $g_N(0)$ pour tout  $N \\geq 1$ ? "
   ]
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   "source": [
    "### Q13 Convergence ponctuelle\n",
    "Y a-t-il visuellement convergence ponctuelle vers $g$ ? Si non, préciser (à la main) le(s) $x$ de $]-1,1[$ pour lesquels il n'y a pas de convergence ponctuelle ? Est-ce cohérent avec un théorème vu en cours ? Vers quelle valeur converge la suite $(g_N(0))_{N \\geq 1}$ ?"
   ]
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    "### Q14  Convergence en moyenne quadratique \n",
    "On veut illustrer la convergence de $(g_N)_{N \\geq 1}$ vers $g$ en norme $L^2([-1,1])$. \n",
    "\n",
    "Pour ce faire on approche la norme $L^2$ de la différence par la méthode des rectangles à gauche (voir question Q3 et le TD du chapitre $1$), à savoir, $$\\|g-g_N\\|^2_{L^2([-1,1])} \\approx \\frac{2}{K} \\sum_{i=0}^{K-1} \\left|g\\left(-1+i\\frac{2}{K}\\right) - g_N\\left(-1+i\\frac{2}{K}\\right)\\right|^2 = J_{K,N},$$ où $K \\in \\mathbb{N}^*$ est donné. "
   ]
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   },
   "source": [
    "Fixons $K=600$, pour un $N$ donné, écrire un code permettant de calculer $J_{K,N}$ la valeur approchée de $||g-g_N||^2_{L^2([-1,1])}$. De plus afficher les valeurs de $J_{K,N}$ pour $N=64$, $128$, $256$, $512$, $1024$ et $2048$. En notant $\\alpha \\in \\mathbb{R}$ vérifiant  $$J_{K,N} \\to \\alpha \\quad \\text{quand } N \\to +\\infty $$ Quelle valeur semble prendre $\\alpha$ ? Est-ce cohérent avec un résultat du cours ?"
   ]
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   "source": [
    "**Remarque.** \n",
    "\n",
    " * Pour toute fonction $f$ dans $\\mathcal{H}$ (fonction  périodique et continue par morceaux), sa série de Fourier converge vers $f$ en moyenne quadratique. \n"
   ]
  }
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