MT09

Bonjour,

une question d'un étudiant qui n'a pas été postée sur le forum, mais à laquelle je réponds pour toutes et tous. Merci d'utiliser le forum!

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Bonsoir Monsieur,

J'ai essayé de faire l'exercice 5 du chapitre 7, mais je n'arrive pas à retrouver le premier résultat. À partir de ce premier résultat donné dans l'aide, je n'ai pas de soucis pour résoudre la suite de l'exercice.
Je pose bien le polynome pn tel qu'il est présenté dans l'aide à partir d'une approximation en utilisant la base de Lagrange, mais c'est au moment de l'intégration que cela me pose problème, le résultat de mon intégral s'exprime toujours en fonction de fn et de fn-1. J'ai essayé d'exprimer fn-1 en fonction de fn à partir d'un développement de Taylor, mais cela me fait apparaitre une dérivée de pn.. Je n'arrive finalement pas à aboutir à ce premier résultat..

Merci d'avance pour vos conseils et bonne soirée,

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Exercice C.2.5 TD7-Exercice5

Le polynôme $p_n$ interpole f en $t_n$ et $t_{n-1}$, donc il s'exprime dans la base de Lagrange comme 

$p_n(t) = \frac{t-t_{n-1}}h f_n - \frac {t-t_{n}}h f_{n-1}$

Il reste à intégrer sur l'intervalle $t_{n-1}$ à ${t_{n+1}}$ (et pas un autre intervalle) :

On trouve bien

$\int_{t_{n-1}}^{t_{n+1}}p_n(t) dt=2hf_n.$

Le plus simple, c'est de faire un changement de variable : $u=\frac{t-t_n}{h}$ (équivalent à $t=t_n+hu$, $dt=hdu$).

Il vient

$\int_{t_{n-1}}^{t_{n+1}}p_n(t) dt=\int_{-1}^{1} ((u+1)f_n - u f_{n-1}) hdu = h\int_{-1}^{1} f_n du$,

car $\int_{-1}^{1} u du=0$ (fonction impaire intégrée sur un intervalle centré en 0).

À la question 2., on obtient bien le schéma 

$z_{n+1}=z_{n-1}+2hf(t_n,z_n).$

Je ne sais pas ce qui a bloqué dans l'intégration ou dans le calcul du polynôme d'interpolation.

Espérant avoir aidé.

Cordialement,

VM, MT09