A20

A20

par Hedou Veronique,
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Questions posées par un étudiant :

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Bonjour je me permets de vous contacter concernant l'annale A20 afin de savoir si vous disposez du corrigé ou/et si vous pouvez répondre à mes questions.

Tout d'abord pour la question 4a comment peut-on, sans calculer le polynôme caractéristique, donner le coefficient de λ
au cube ?

De plus pour l'exercice 2 pour la question 2 je ne sais pas si ce que j'ai effectué est correct , en effet selon moi si -1 est valeur triple A possède plusieurs "formeS" possible.

De même comment peut-on dire sans calcul si A est définie positivement? On a vu dans le cour que si A est définie positivement ALORS aii>0 mais pas la réciproque . On a une équivalence seulement pour les valeurs propres donc si on effectue des calculs.

Merci d'avance ,bonne journée à vous."

Réponses :

- pour le coefficient de \lambda^3, la réponse a été donnée dans une autre question.

- Si -1 est valeur propre triple alors, A étant symétrique, elle est diagonalisable et donc semblable à  -I et on a A=P(-I)P^{-1}=-PP^{-1}=-I. C'est la seule réponse possible.

- la contraposée de "A def > 0 \Rightarrow a_{ii}>0" est "a_{ii}\leq0 \Rightarrow A n'est pas def > 0". C'est en effet une condition nécessaire : si elle n'est pas vérifiée, la propriété est fausse.

VH