MT23 - Algèbre linéa ...

(réponse envoyée par mail recopiée ici)

1) Il faut raisonner par double équivalence :
$\rightarrow$ : Si la famille est libre, alors $\lambda.x=0 \rightarrow \lambda=0$, donc $x\neq 0$ sinon on n'aurait pas systématiquement l'implication.
$\leftarrow$ : Si $x\neq 0$, $\lambda.x=0 \rightarrow \lambda=0$, donc la famille est libre.

2) Non, ce sont tous les vecteurs de l'espace qui sont combinaison linéaire de la famille génératrice. Si la famille génératrice est libre (ce qui est possible), il est impossible que l'un d'entre eux soit combinaison linéaire des autres.

3) $E = \{(0,1,3); (0,2,3); (1,4,4)\}$ n'a pas de sens. Un espace vectoriel a toujours un ensemble infini d'éléments, sauf l'ensemble réduit au vecteur nul.