MT23: Questions sur le 1er cours

Bonjour, en revoyant mon cours il y a des choses que je n’ai pas compris. pouvez vous m’aider ?

1) je n’ai pas compris pourquoi on dit dans une propriété sur les famille libre que :

Si p = 1 alors (S est libre <=> xvecteur ≠ vecteur nul)

2) en regardant la définition avec les quantificateurs, est ce que dire que S est famille génératrice veut en quelque sorte dire : pour tout les vecteur de cette famille, chaque vecteur est égal à une combinaison linéaire incluant lui même et tous les autres vecteurs de cette famille ?

3) je n’ai pas trop compris ce qu’est un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs. Si on a :

vect <(0,2,6); (0,8,12); (4,8,8)> et E = {(0,1,3); (0,2,3); (1,4,4)}

peut on dire que vect <(0,2,6); (0,8,12); (4,8,8)> est un SEV engendré de l’espace vectoriel E ?

je pense que je confond un peu plusieurs termes

Merci

Re: Questions sur le 1er cours

de Hedou Veronique - jueves, 28 de septiembre de 2023, 12:28

(réponse envoyée par mail recopiée ici)

1) Il faut raisonner par double équivalence :

$\rightarrow$ : Si la famille est libre, alors

$\lambda.x=0 \rightarrow \lambda=0$ , donc

$x\neq 0$ sinon on n'aurait pas systématiquement l'implication.

$\leftarrow$ : Si

$x\neq 0$ ,

$\lambda.x=0 \rightarrow \lambda=0$ , donc la famille est libre.

2) Non, ce sont tous les vecteurs de l'espace qui sont combinaison linéaire de la famille génératrice. Si la famille génératrice est libre (ce qui est possible), il est impossible que l'un d'entre eux soit combinaison linéaire des autres.

$E = \{(0,1,3); (0,2,3); (1,4,4)\}$ n'a pas de sens. Un espace vectoriel a toujours un ensemble infini d'éléments, sauf l'ensemble réduit au vecteur nul.