Bonjour,
Pour ceux qui ont fait l'annale A21, dans l'exercice 1, comment fait-on pour prouver que si Z est un vecteur tel que (A - I)Z est différent de 0, alors le vecteur Y = (A - I)Z est vecteur propre de A (question 3).
Merci!
Luca
Bonjour,
aux questions précédentes, vous avez dû trouver que $(A-I)^2=0$, donc le noyau de $(A-I)^2$ est tout $R^4$.
Vous avez dû aussi trouver que $dim(ker(A-I))=2$ (car $rang(A-I)=2$).
Bref, si Z est tel que $(A-I)Z$ est différent de zéro, c'est qu'il n'est pas dans le noyau de $(A-I)$. En revanche, il est dans le noyau de $(A-I)^2$. Donc on a
![Y=(A-I)Z \neq 0 \text{ et } (A-I)^2 Z=(A-I) [(A-I)Z] = (A-I) Y = 0](https://moodle.utc.fr/filter/tex/pix.php/a1235f693dc52c3136b10dea9505f206.gif "Y=(A-I)Z \neq 0 \text{ et } (A-I)^2 Z=(A-I) [(A-I)Z] = (A-I) Y = 0")
donc Y (non nul) est bien vecteur propre pour $A$ associé à la vp 1.
Bien cordialement,
à tout à l'heure,
VM, MT23
aux questions précédentes, vous avez dû trouver que $(A-I)^2=0$, donc le noyau de $(A-I)^2$ est tout $R^4$.
Vous avez dû aussi trouver que $dim(ker(A-I))=2$ (car $rang(A-I)=2$).
Bref, si Z est tel que $(A-I)Z$ est différent de zéro, c'est qu'il n'est pas dans le noyau de $(A-I)$. En revanche, il est dans le noyau de $(A-I)^2$. Donc on a
donc Y (non nul) est bien vecteur propre pour $A$ associé à la vp 1.
Bien cordialement,
à tout à l'heure,
VM, MT23
Merci beaucoup!