MT09

Introducción al análisis numérico

El análisis numérico es una disciplina cruce, lo que en realidad el interés y la dificultad. El estudio y la Resolución de un problema de análisis numérico de tamaño natural pasa por varias fases:

• El problema procede en primer lugar en general, de la mecánica, la física y las ciencias del ingeniero. Hay así un trabajo de modelización, traduciéndose en una puesta en ecuaciones. Generalmente esta modelización no es ordinaria. Es hecha, o al menos sido contratada por el que plantea el problema (físico, mecánico, ingeniero).

• La etapa anterior conduce a un modelo. Es entonces el trabajo del matemático estudiar la coherencia. Propone un marco funcional adecuado y se esfuerza de mostrar que el problema planteado, o al menos la traducción matemática que se construyó, admite una única solución. Desgraciadamente, en numerosas situaciones reales, este estudio no puede llevarse a cabo, a causa de la dificultad matemática o a causa de la falta de tiempo o medios. Así pues, el estudio matemático de algunas ecuaciones de la mecánica de los fluidos conocidas desde hace varios siglos, se ve lejana a acabarse.

• El paso siguiente consiste en definir una aproximación del modelo, con el fin de permitir una Resolución numérica del problema planteado. Allí comienza el trabajo propiamente del analista numérico. Él debe construir un algoritmo de cálculo y, cuando este se pueda hacer, demostrar que el algoritmo define bien una solución acercada del problema.

• Por último, queda escribir un programa informático que establece el algoritmo y validar los resultados proporcionados al final de la cadena por la máquina.

A lo largo de este proceso, las fuentes de error son múltiples:

• El modelo construido tuvo en cuenta los fenómenos físicos esenciales, sólo descuidando lo que es descuidable?

• El modelo construido es matemáticamente coherente? Define una única solución? Admite al menos una?

• La aproximación es buena? Cuál es la sensibilidad del modelo a los errores?

• El programa informático de implantación es correcto? En un programa informático de varias decenas, o incluso centenares, de millares de instrucciones, hay siempre errores de programación.

• Finalmente se efectúa cada operación aritmética con un error de redondeo. Cuando una super calculadora efectúa miles millones al segundo, digamos veinte minutos, se puede temer que eso dé lugar a una acumulación catastrófica, suficiente para retirar toda validez a los resultados.

Se ve así el interés esencial de una validación de los resultados. Como también que no se tendrán nunca certezas, pero si posible un haz de presunciones de validez. Los métodos que deben utilizarse pueden clasificarse sumariamente de la siguiente manera:

• Estudio de las propiedades cualitativas de la solución calculada y su probabilidad física. Aquí interviene de manera esencial el físico que sabrá a quien debe asemejar la solución buscada (se sabe por ejemplo que las dificultades mecánicas en un sólido se vuelven muy grandes cerca de los bordes).

• Cálculo de soluciones analíticas, en casos particulares. Antes de que los ordenadores se vuelven disponibles, todo un arsenal de funciones especiales (funciones de Bessel, armónicos esféricos, polinomios ortogonales) se habían construido para expresar las soluciones de problemas a los límites en el caso de geometrías simples. Este arsenal es precioso y debe utilizarse cada vez que sea posible.

• Se puede darse una solución arbitraria, a menudo construir un juego de datos, luego lanzar el programa informático sobre este juego de datos y ver si se encuentra la solución inicial.

• Comparación de sus resultados a los proporcionados por otros programas informáticos.