MT23: définition groupe, combien d'élément neutre?

Bonjour,

Petite question je viens de relire la définition d'un groupe et je me suis demandé s'il était possible d'avoir plusieurs éléments neutres dans un ensemble, en effet il est écrit:

"-elle admet un élément neutre : ∃e ∈ G tel que , ∀x ∈ G, e+ˆ x = x+ˆ e = x"

Manque-t-il donc un "!" juste après le ∃? => "-elle admet un élément neutre : ∃!e ∈ G tel que , ∀x ∈ G, e+ˆ x = x+ˆ e = x"

Merci et bonne journée

Re: définition groupe, combien d'élément neutre?

par Guichard Francois, mercredi 16 septembre 2020, 10:10

Bonjour,

il me semble qu'il ne puisse exister qu'un unique élément neutre pour une loi de composition,
je pense que la démo suivante par l'absurde fonctionne:

soit un groupe (E, *), on suppose a et b distinct, appartenant à E et neutre pour la loi de composition *.
donc pour tout x dans E , a*x = x*a = x et b*x = x*b = b => a = a*b = b => a=b : contradiction avec la définition de a et b

Cependant j'ai pu lire que si on faisait la distinction entre : -élément neutre à gauche - élément neutre à droite - élément neutre (droite et gauche)
et qu'il n'existe pas d'élément neutre à droite et à gauche (cas précédent) alors il pouvait exister plusieurs éléments neutres.

cf : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_neutre#Propri%C3%A9t%C3%A9s

j'espère avoir pu aider :)

Re: définition groupe, combien d'élément neutre?

par Hedou Veronique, vendredi 18 septembre 2020, 18:45

En effet, il n'existe qu'un seul élément neutre tel que

$\forall x\in E, x*e=e*x=x$ . Plus que l'unicité, c'est son existence qui est importante (l'unicité étant une conséquence de l'existence avec la démonstration faite dans la précédente réponse).

VH