définition groupe, combien d'élément neutre?

définition groupe, combien d'élément neutre?

por Marvier Paul -
Número de respostas: 2

Bonjour,

Petite question je viens de relire la définition d'un groupe et je me suis demandé s'il était possible d'avoir plusieurs éléments neutres dans un ensemble, en effet il est écrit:

"-elle admet un élément neutre : ∃e ∈ G tel que , ∀x ∈ G, e+ˆ x = x+ˆ e = x" 

Manque-t-il donc un "!" juste après le ∃? => "-elle admet un élément neutre : ∃!e ∈ G tel que , ∀x ∈ G, e+ˆ x = x+ˆ e = x" 

Merci et bonne journée

Em resposta a 'Marvier Paul'

Re: définition groupe, combien d'élément neutre?

por Guichard Francois -
Bonjour,

il me semble qu'il ne puisse exister qu'un unique élément neutre pour une loi de composition,
je pense que la démo suivante par l'absurde fonctionne:

soit un groupe (E, *), on suppose a et b distinct, appartenant à E et neutre pour la loi de composition *.
donc pour tout x dans E , a*x = x*a = x et b*x = x*b = b => a = a*b = b => a=b : contradiction avec la définition de a et b

Cependant j'ai pu lire que si on faisait la distinction entre : -élément neutre à gauche - élément neutre à droite - élément neutre (droite et gauche)
et qu'il n'existe pas d'élément neutre à droite et à gauche (cas précédent) alors il pouvait exister plusieurs éléments neutres.
 
cf : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_neutre#Propri%C3%A9t%C3%A9s

j'espère avoir pu aider :)
Em resposta a 'Guichard Francois'

Re: définition groupe, combien d'élément neutre?

por Hedou Veronique -
En effet, il n'existe qu'un seul élément neutre tel que \forall x\in E, x*e=e*x=x. Plus que l'unicité, c'est son existence qui est importante (l'unicité étant une conséquence de l'existence avec la démonstration faite dans la précédente réponse).

VH