MT23: Question Ex A.1.17 (chap1)

Bonjour,

Pour les trois derniers ensembles F de la question 1 ex 17 du cours.

Peut-on procéder de manière "classique" pour montrer s'ils sont des sev de E ? C'est à dire en montrant que

- vecteur nul appartient à F

- (lambda. vect x) appartient à F

- (vect x + vect y) appartient à F

Sinon, je ne comprends pas la correction. Est ce que la base [e1, e2, e3] est la base canonique de R3 ou peut-on prendre n'importe quelle base ?

Comment arrive-t-on à écrire x en fonction des éléments de la base de E étant donné que l'on a pas de valeurs numériques ?

Et pourquoi cela prouve que F est un sev de E?

Merci d'avance

par Hedou Veronique, dimanche 4 octobre 2020, 20:50

Bonsoir,

Oui, c'est bien comme cela que l'on montre que ce son des sous-espaces vectoriels.
Pour la question 2, on nou dit que

$(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)$ est une base de

$E$ (qui n'a rien à voir avec

$\mathbb{R}$ a priori). On part donc du principe que tout élément de

$E$ se décompose sur cette base :

$\vec x=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3.$
Comme les équations nous donnent

$x_1=x_3,x_2=−2x_3$ , on obtient

$\vec x=x_3\vec e_1-2x_3\vec e_2+x_3\vec e_3=x_3(\vec e_1-2\vec e_2+\vec e_3)$ et le vecteur

$\vec e_1-2\vec e_2+\vec e_3$ est générateur de

$F$ .

VH