MT23: A20 | UTC

Questions posées par un étudiant :

Bonjour je me permets de vous contacter concernant l'annale A20 afin de savoir si vous disposez du corrigé ou/et si vous pouvez répondre à mes questions.

Tout d'abord pour la question 4a comment peut-on, sans calculer le polynôme caractéristique, donner le coefficient de λ
au cube ?

De plus pour l'exercice 2 pour la question 2 je ne sais pas si ce que j'ai effectué est correct , en effet selon moi si -1 est valeur triple A possède plusieurs "formeS" possible.

De même comment peut-on dire sans calcul si A est définie positivement? On a vu dans le cour que si A est définie positivement ALORS aii>0 mais pas la réciproque . On a une équivalence seulement pour les valeurs propres donc si on effectue des calculs.

Merci d'avance ,bonne journée à vous."

Réponses :

- pour le coefficient de $\lambda^3$ , la réponse a été donnée dans une autre question.

- Si -1 est valeur propre triple alors, $A$ étant symétrique, elle est diagonalisable et donc semblable à $-I$ et on a $A=P(-I)P^{-1}=-PP^{-1}=-I$ . C'est la seule réponse possible.

- la contraposée de " $A$ def > 0 $\Rightarrow$ $a_{ii}>0$ " est " $a_{ii}\leq0$ $\Rightarrow$ $A$ n'est pas def > 0". C'est en effet une condition nécessaire : si elle n'est pas vérifiée, la propriété est fausse.