Forum MT09 A2023

Annale A19 : Exercice 1.2.c et d

Annale A19 : Exercice 1.2.c et d

par Denizart Alice,
Nombre de réponses : 5

Bonjour, 

Je n'arrive pas à trouver de majoration entre le point fixe et les itérations. Pour moi les itérations tendent justement vers le point fixe donc la différence sera au final 0 mais donc la plus grande différence serait celle entre le point fixe et le premier itéré. Je me doute qu'il y a du hL dans la majoration mais je n'arrive pas à l'écrire même avec l'inégalité Lipshitzienne.

Ensuite pour le d, en supposant que que G(t,d) = aux itérés, j'ai besoin de remplacer la différence de x et des itérés par la majoration trouvée au dessus mais du coup je peux pas. Par contre si je prends G(t,d) = aux itérés, je me retrouve avec une addition de la norme de b-d et non une multiplication comme dans l'énoncé donc je me pose la question de si mon égalité est juste. J'ai peut être pas bien compris à quoi correspondait G.

Je ne suis pas sûre que cette partie soit au programme de notre final d'ailleurs...

En réponse à Denizart Alice

Re: Annale A19 : Exercice 1.2.c et d

par Ben Belgacem Faker,

Bonjour,

pour votre premiere question, vous avez raison qu'a la limite l'ecart est zero. cependant, la question posee dans l'examen F2019 est differente. on demande de donner la vitesse de convergence de la suite de cauchy  vers le pt fixe, c'est-a-dire de savoir de quelle facon |x_n - x_*|  decroit  vers zero. la reponse se trouve  dans la demonstration de la proposition 4.2.2 lorsqu'on sait qu'un point fixe existe (on ne demande la prouve). Si on ne le sait pas, l'estimation est donne a la suite de la demo. du corollaire 4.2.3. page 22 du document MT09-ch4-ecran.pdf. Elle fait aussi l'objet de l'exo B.1.9.

quant a votre 2ieme q., comme vous l'avez propose je l'aborderai lors de la seance de revision du jeudi.

Bon travail

En réponse à Denizart Alice

Re: Annale A19 : Exercice 1.2.c et d

par De Vuyst Florian,

Bonjour,

Bon inter-fêtes :)

* Pour la question c., il est écrit de ne pas faire la démonstration, je suppose que c'est une question de cours, et donner la majoration du cours ?

* pour la question d. : 

x=G(t,b) est solution de x- h g(t,x) = b, donc

G(t,b) - h g(t,G(t,b)) = b. De même,

G(t,d) - h g(t,G(t,d)) = d. Pour atteindre la bonne majoration, on écrit plutôt : 

G(t,b) = b + h g(t,G(t,b))     (1)

G(t,d) = d + h g(t,G(t,d))      (2)

Vous faites la différence (1)-(2) : puis inégalité triangulaire + propriété Lipschitz uniforme, et vous arrivez au résultat en rassemblant les termes en différence de G

Bonne continuation de vacances et bonne préparation pour les finaux,

Crdt,