PS défini positif

Re: PS défini positif

von Martin Vincent -
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Bonjour,
merci d'avoir posté vos questions et réponses. Ce qui est écrit est correct, je me permets quelques compléments.

Une forme bilinéaire symétrique
\phi : R^n \times R^n \mapsto R
est effectivement définie positive (DP) ssi les 2 conditions données par M. Penet-Baranger sont vérifiées.
Cela est encore équivalent à
\forall x \in R^n, x\neq 0 \implies \phi(x)>0.
Comme dit en cours, cela correspond à regarder si la forme quadratique associée (définie par
q(x)=\phi(x,x)
) est définie positive.
 
Donc, dans la question 1) de l'exo 2 du final A21, la réduction de Gauss en carrés permet de trouver une CNS pour que A (donc $\phi$ et $q$) soit DP. J'ai trouvé comme condition pour être DP :
A \ (\text{ou } \phi  \text{ ou } q) \text{ est }  DP \Longleftrightarrow \alpha>1.
On a en effet :
q(x) = x^T A x = (x_1-x_2)^2 + (2x_2-x_3)^2 + (\alpha-1)x_3^2.
Cas 1) si $\alpha>1$ :
alors $q(x)\geq 0$. De plus, si $q(x)=0$, alors (somme de carrés nuls), on a
x_3=0, \ 2x_2-x_3=0, \ x_1-x_2=0,
ce qui implique $x=0$. $A$ est DP.
Cas 2) si $\alpha=1$ :
alors $q(x)\geq 0$. Et il existe $x$ non nul tq $q(x)=0$. Il suffit de prendre 
x_3=1, \ x_2=2, \ x_1=2.
Donc $A$ est semi DP.
Cas 2) si $\alpha<1$ :
alors il existe $x$ tq $q(x)<0$. Il suffit de prendre le même $x$ que dans le cas précédent.
Dans ce cas, $A$ n'est ni DP, ni semi DP.
 
Enfin, si $\alpha>1$, alors
\phi : (x,y)\mapsto x^T A y
définit un produit scalaire (pas le PS usuel sur $R^3$). Et effectivement, la base canonique n'est pas orthonormée avec ce PS. Cela se voit par exemple car
\langle e_1, e_2 \rangle=-1 \text{ et } \langle e_2, e_3\rangle=-2.  
Dans la dernière question, la construction d'une base orthonormée (BON) avec ce PS est une façon de calculer
F^\perp.
 
Bon courage.
VM