PS défini positif

PS défini positif

Grosse Yael -
回帖数：4

Bonjour, 

je viens d'effectuer le final A21 (pas de correction), dans l'exercice 2 on définit le produit scalaire <x,y> = x transposé Ay.

Pour le calcul de <e2,e3> je trouve -2. 

Au première abord je pensais que le résultat était absurde et que j'ai commis une erreur calculatoire (ce qui est probable). 

Il me semble que d'après le cours défini positif s'applique uniquement sur <x,x>, mais maintenant j'ai un doute sur ma compréhension du cours. 

Quelqu'un pourrait-il me donner confirmation pour être sur que j'ai bien compris ? 

Merci d'avance. 

 

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Re: PS défini positif

Penet--Baranger Barthelemy -

Il me semble que c'est effectivement pour <x,x> que le défini positif s'applique. 

image.png

Et pour son application à la forme quadratique, elle est peut être défini positive car quand on fait x transposé Ay avec y=x on trouve des x^2 donc même en ayant x<0 on a peut avoir <x,x> positif, ce qui n'est pas le si y différent de x et y<0 et x>0.

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Re: PS défini positif

Abouloula Mohamed Hamza -
Salut !
Si je peux me permettre de répondre, il ne faut pas se mêler les pinceaux quand on cherche à montrer que l'application (a priori produit scalaire) est définie positive. On regarde pour cette condition, EXCLUSIVEMENT si l'application vérifie que <x,x> est positif, et nul ssi x = 0. + 2 autres conditions pour dire que l'application définit bien un prod scalaire. 
Attention aussi, un produit scalaire peut être négatif pour deux vecteurs différents. (ou nul, ou positif, donc ne pas confondre avec le fait que A soit définie positive ou semi def.)
Je pense que le calcul , qui vaut bien -2, dit juste qu'avec le produit scalaire défini avec cette matrice, la base canonique n'est pas orthogonale, d'où je pense la question d'après qui demande à chercher un orthogonal.
Tu peux toujours attendre qu'un(e) professeur(e) confirme / ajoute ou modifie des trucs. Bonne soirée !
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Re: PS défini positif

Grosse Yael -
merci pour vos réponses, c'est bien claire dans ma tête
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Re: PS défini positif

Martin Vincent -
Bonjour,
merci d'avoir posté vos questions et réponses. Ce qui est écrit est correct, je me permets quelques compléments.

Une forme bilinéaire symétrique
\phi : R^n \times R^n \mapsto R
est effectivement définie positive (DP) ssi les 2 conditions données par M. Penet-Baranger sont vérifiées.
Cela est encore équivalent à
\forall x \in R^n, x\neq 0 \implies \phi(x)>0.
Comme dit en cours, cela correspond à regarder si la forme quadratique associée (définie par
q(x)=\phi(x,x)
) est définie positive.
 
Donc, dans la question 1) de l'exo 2 du final A21, la réduction de Gauss en carrés permet de trouver une CNS pour que A (donc $\phi$ et $q$) soit DP. J'ai trouvé comme condition pour être DP :
A \ (\text{ou } \phi  \text{ ou } q) \text{ est }  DP \Longleftrightarrow \alpha>1.
On a en effet :
q(x) = x^T A x = (x_1-x_2)^2 + (2x_2-x_3)^2 + (\alpha-1)x_3^2.
Cas 1) si $\alpha>1$ :
alors $q(x)\geq 0$. De plus, si $q(x)=0$, alors (somme de carrés nuls), on a
x_3=0, \ 2x_2-x_3=0, \ x_1-x_2=0,
ce qui implique $x=0$. $A$ est DP.
Cas 2) si $\alpha=1$ :
alors $q(x)\geq 0$. Et il existe $x$ non nul tq $q(x)=0$. Il suffit de prendre 
x_3=1, \ x_2=2, \ x_1=2.
Donc $A$ est semi DP.
Cas 2) si $\alpha<1$ :
alors il existe $x$ tq $q(x)<0$. Il suffit de prendre le même $x$ que dans le cas précédent.
Dans ce cas, $A$ n'est ni DP, ni semi DP.
 
Enfin, si $\alpha>1$, alors
\phi : (x,y)\mapsto x^T A y
définit un produit scalaire (pas le PS usuel sur $R^3$). Et effectivement, la base canonique n'est pas orthonormée avec ce PS. Cela se voit par exemple car
\langle e_1, e_2 \rangle=-1 \text{ et } \langle e_2, e_3\rangle=-2.  
Dans la dernière question, la construction d'une base orthonormée (BON) avec ce PS est une façon de calculer
F^\perp.
 
Bon courage.
VM