Bonjour,
Merci de poster vos questions sur le forum : si vous avez une question, vous n'êtes probablement pas le seul que ça intéresse...
Question d'un étudiant :
"Est-ce que, dans le cadre de MT23, on applique le procédé de Gram-Schmidt pour trouver une BON de vecteurs propres uniquement sur des matrices symétriques réelles ou non ?"
Il y a, me semble-t-il, confusion entre 2 notions :
1) les matrices symétriques réelles sont diagonalisables dans une BON : il existe une matrice orthogonale et une matrice diagonale réelles telles que
$D = P^{-1} A P = P^{T} A P$
La matrice D contient les valeurs propres et les colonnes de P sont des vecteurs propres orthonormés.
En pratique, cela signifie que, une fois qu'on a calculé les valeurs propres et vecteurs propres, on peut orthonormaliser ces derniers par le procédé de Gram-Schmidt. Et on sait que les vecteurs propres associés à des vp distinctes sont déjà orthogonaux.
2) le procédé de Gram-Schmidt permet d'orthonormaliser une famille libre, de façon à ce que les vecteurs soient ajoutés un par un : Vecteurs(x1,...,xk) =Vecteurs(y1,...,yk) pour tout k.
Si on a une base de E au départ, on obtient un BON par Gram-Schmidt. De plus la matrice formée de ces vecteurs en colonne est une matrice de passage entre 2 BON => c'est une matrice orthogonale.
Attention : les matrices orthogonales ne sont pas, en général, symétriques. (C'est vrai uniquement si $Q^T = Q^{-1} = Q$.)
Conclusion :
Ne confondez pas les matrices symétriques qu'on peut toujours diagonaliser et les matrices orthogonales qui permettent de changer de BON.
Bien cordialement,
VM