Abschnittsübersicht

  • Chapitre 2 - Des groupes

    • 1 - Introduction et exemples
      résolution des équations algébriques par radicaux, groupe de Galois; symétrie, invariance et groupe (Klein, Poincaré, Noether, ...)
      groupes à (très) peu d'éléments, table de Pythagore, groupe des bijections d'un ensemble, groupe symétrique Sn, groupe des automorphismes, groupe linéaire
    • PDF_MT10_ChapII1 Datei
    • 2 - Sous-groupes
      Définition, caractérisation; diagramme de Hasse; théorème de Lagrange; morphisme: noyau et image; sous-groupe engendré par une partie; sous-groupe monogène d'un groupe fini; sous-groupe de Z et arithmétique
    • PDF_MT10_ChapII2 Datei
    • 3 - Groupe quotient
      Sous-groupe distingué (= normal, = invariant); exemple déjà vu: Z/nZ; propriété universel du quotient (G/H, pi); factorisation des morphismes; groupes monogènes; Commutativité: centre Z(G), commutateurs et groupe dérivé D(G); suite exacte; groupes simples; groupes résolubles
    • PDF_MT10_ChapII3 Datei
    • 4 - Action de groupe
      Deux points de vue équivalents sur l'action de groupe; exemples; orbites et stabilisateurs; action transitive, action fidèle; formule des classes; trois actions d'un groupe sur lui-même; Théorème de Cayley; l'action naturelle de Sn sur [[1,n]]
    • PDF_MT10_ChapII4 Datei
    • 5 - Produits de groupes
      Produit direct; Lemme chinois; problème de l'extension d'un groupe
    • PDF_MT10_ChapII5 Datei
    • 6 - Groupe cyclique
      Un lemme concernant les groupes commutatifs; Indicatrices d'Euler et générateurs des groupes cycliques; les sous-groupes d'un groupe cyclique; un critère de cyclicité
    • PDF_MT10_ChapII6 Datei

    • Chapitre 3 - Des anneaux et des corps

      1 - Anneaux et corps (généralités)
      Définitions et règles de calcul; morphismes, A-algèbre, caractéristique; sous-anneau, sous-anneau engendré
    • PDF_MT10_ChapIII1 Datei
    • 2 - Idéal et anneau quotient
      Heuristique; idéal et anneau quotient A/I; propriété universelle du quotient (A/I,π); factorisation des morphismes d'anneau; A/I est-il intègre ? A/I est-il un corps ? l'anneau Z et ses quotients
    • PDF_MT10_ChapIII2 Datei
    • 3 - Corps des fractions
      Objectifs; construction du corps des fractions (d'un anneau commutatif intègre); propriété universelle de (Frac(A),j)
    • PDF_MT10_ChapIII3 Datei
    • 4 - A-algèbres de polynômes
      Eléments algébrique, élément transcendant; construction de A[X]; propriété universelle de (A[X],j); polynômes à plusieurs indéterminées; division euclidienne dans A[X]; racine d'un polynôme
    • PDF_MT10_ChapIII4 Datei
    • 5 - Arithmétique dans les anneaux
      Z l'anneau modèle; expression de l'arithmétique dans un anneau commutatif; propriété des anneaux intègres; lien entre élément premier et élément irréductible; anneau euclidien, principal, factoriel; A euclidien ==> A principal; A principal ==> A factoriel; A corps <==> A[X] principal; A factoriel ==> A[X] factoriel
    • PDF_MT10_ChapIII5 Datei