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    Introduzione

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    MT10 - STRUCTURES, CALCUL FORMEL ET ALGORITHMES





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    Topic 1

    Chapitre 1 - D'où l'on parle

    • 1 - Arithmétique élémentaire
      Division euclidienne, ppcm, pgcd, Bézout et l'algorithme d'Euclide étendu, Lemme de Gauss et autres conséquences de Bézout, Nombres premiers et TFA
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    • 2 - Calculer en (grands) nombres entiers
      Le grand O de Landau, écriture en base b, coût du stockage, coût des opérations élémentaires
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    • 3 - Description des structures
      monoïde, groupe, anneau, corps
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    • 4 - Des flèches et des morphismes
      application, injection, surjection, bijection; composée, diagramme commutatif; relation d'équivalence, partition; quotient, propriété universelle, problème universel; factorisation canonique d'une application; morphismes: des flèches qui respectent les structures
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    • 5 - N à partir de Peano-Dedekind
      N par les axiomes de Peano-Dedekind, unicité de N comme solution d'un problème universel, addition et multiplication dans N, structure d'ordre, cardinaux, ensembles finis et infinis, division euclidienne, nombres premiers selon Euclide
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    • 6 - Construction de Z comme extension de N
      groupe (Z,+,0) comme symétrisé du monoïde (N,+,0), propriété universelle et unicité du groupe (Z,+,0), l'anneau (Z,+,0,.,1), propriété universelle et unicité de l'anneau (Z,+,0,.,1), congruences de Gauss, première définition de Z/nZ comme anneau
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    Topic 2

    Chapitre 2 - Des groupes

    • 1 - Introduction et exemples
      résolution des équations algébriques par radicaux, groupe de Galois; symétrie, invariance et groupe (Klein, Poincaré, Noether, ...)
      groupes à (très) peu d'éléments, table de Pythagore, groupe des bijections d'un ensemble, groupe symétrique Sn, groupe des automorphismes, groupe linéaire
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    • 2 - Sous-groupes
      Définition, caractérisation; diagramme de Hasse; théorème de Lagrange; morphisme: noyau et image; sous-groupe engendré par une partie; sous-groupe monogène d'un groupe fini; sous-groupe de Z et arithmétique
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    • 3 - Groupe quotient
      Sous-groupe distingué (= normal, = invariant); exemple déjà vu: Z/nZ; propriété universel du quotient (G/H, pi); factorisation des morphismes; groupes monogènes; Commutativité: centre Z(G), commutateurs et groupe dérivé D(G); suite exacte; groupes simples; groupes résolubles
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    • 4 - Action de groupe
      Deux points de vue équivalents sur l'action de groupe; exemples; orbites et stabilisateurs; action transitive, action fidèle; formule des classes; trois actions d'un groupe sur lui-même; Théorème de Cayley; l'action naturelle de Sn sur [[1,n]]
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    • 5 - Produits de groupes
      Produit direct; Lemme chinois; problème de l'extension d'un groupe
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    • 6 - Groupe cyclique
      Un lemme concernant les groupes commutatifs; Indicatrices d'Euler et générateurs des groupes cycliques; les sous-groupes d'un groupe cyclique; un critère de cyclicité
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    • Chapitre 3 - Des anneaux et des corps

      1 - Anneaux et corps (généralités)
      Définitions et règles de calcul; morphismes, A-algèbre, caractéristique; sous-anneau, sous-anneau engendré
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    • 2 - Idéal et anneau quotient
      Heuristique; idéal et anneau quotient A/I; propriété universelle du quotient (A/I,π); factorisation des morphismes d'anneau; A/I est-il intègre ? A/I est-il un corps ? l'anneau Z et ses quotients
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    • 3 - Corps des fractions
      Objectifs; construction du corps des fractions (d'un anneau commutatif intègre); propriété universelle de (Frac(A),j)
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    • 4 - A-algèbres de polynômes
      Eléments algébrique, élément transcendant; construction de A[X]; propriété universelle de (A[X],j); polynômes à plusieurs indéterminées; division euclidienne dans A[X]; racine d'un polynôme
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    • 5 - Arithmétique dans les anneaux
      Z l'anneau modèle; expression de l'arithmétique dans un anneau commutatif; propriété des anneaux intègres; lien entre élément premier et élément irréductible; anneau euclidien, principal, factoriel; A euclidien ==> A principal; A principal ==> A factoriel; A corps <==> A[X] principal; A factoriel ==> A[X] factoriel
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    Topic 3

    Chapitre 4 - Corps finis

    1 - Extensions de corps
    Polynôme minimal d'un élément algébrique; caractéristique et corps premiers; construction d'un corps fini; endomorphisme de Frobenius
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    • 2 - Structure des corps finis
      K comme ensemble des racines de Xq-X; (K*,*,e) est un groupe cyclique; K=Fp(a) c'est-à-dire admet un élément primitif; K=Fp[X]/(P) où P polynôme irréductible sur Fp; les sous-corps de K; le groupe des automorphismes de K est AutFp(K)=Gal(K/Fp); existence et unicité "du" corps fini à q=pn éléments
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    • 3 - Les polynômes irréductibles de Fp[X]
      Factorisation de Xq-X dans Fp[X]; La fonction de Möbius; le nombre Irrp(n) de polynômes irréductibles de Fp[X] de degré n
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    • 4 - Théorème de Wedderburn: tout corps fini est commutatif
      Schéma de la démonstration; sous-corps des éléments qui commutent avec une partie; un lemme de divisibilité; polynômes cyclotomiques
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    Topic 4

    • Deuxième partie (par W. SCHÖN) : Mathématiques pour la cryptographie

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