Bonjour,
Je ne comprend pas comment est ce que l'on trouve la dimension de la matrice asymétrique : n(n-1)/2 ? Est ce quelqu'un pourrait m'expliquer, je ne comprend pas l'explication sur le corrigé non plus ...
Salut Romane,
Une matrice antisymétrique est de la forme :
Donc pour trouver une base tu peux extraire les coefficients. On peut noter les Matrices Mij avec 1≤i≤j≤n ou tous les termes sont nuls sauf le terme à la ième ligne, j-ème colonne.
On peut former avec les matrices Mij des matrices antisymétriques.
Gi,j = Mi,j - Mj,i.
Donc toute matrice antisymétrique A appartenant à An :
A= a1,2G1,2+ a1,3G1,3+...+a1,nG1,n+a2,3G2,3+a2,4G2,4+...a2,nG2,n+a3,4G3,4+...+a3,nG3,n+an-1,nGn-1,n
Les matrices Gi,j appartiennent bien à An et sont libres.
Donc F = {Gi,j 1≤i≤j≤n} est une base.
Tu remarques que pour la première ligne d'une matrice et de la première colonne de A tu peux as besoin de n-1 éléments de F (tu as besoin des matrices G1,2 ; G1,3 ; G1,4;... ;G1,n). Ensuite la deuxième ligne et la deuxième colonne tu as besoin de n-2 éléments (G2,3 ; G2,4;...;G2,n), etc.
Tu sommes tout ça : n-1+ n-2+n-3+...+1.
le n(n-1)/2 vient (je pense, j'ai un petit doute) :
Tu as la somme S : n-1+n-2+...+2+1.
S peut aussi s'écrire : 1+2+3+...+n-1.
Donc tu as :
S : 1+2+3+...+n-1
+
S : n-1+n-2+...+2+1
= n + n + ... + n. (ça fait du coup n-1 de n)
2S = n(n-1) ==> S = n(n-1)/2.
Déjà, il ne s'agit pas de la dimension d'une matrice (ça n'existe pas) mais de l'espace vectoriel des matrices antisymétriques (et non asymétriques).
Cette dimension est donnée par le nombre de vecteurs dans la base : il y en a n+(n-1)+...+2+1
Faire un exemple avec n=3 permet de mieux comprendre.
VH
Cette dimension est donnée par le nombre de vecteurs dans la base : il y en a n+(n-1)+...+2+1
Faire un exemple avec n=3 permet de mieux comprendre.
VH