Question : "Après avoir rencontré une difficulté sur le médian A2019 Exercice 2, partie 2 question 4a et après en avoir discuté avec d'autres élèves de MT23 je ne suis pas parvenu à trouver une explication solide.
Dans cette question, on nous demande le rang de g. Dans la correction on s'est appuyé sur le fait que ker f = im g et on connaissait la dimension de ker f.
J'aimerais savoir comment on aurait pu trouver le rang de g sans s'appuyer sur cette donnée.
Quand je me suis fait le raisonnement tout seul je me suis dit que le rang de g était égal au nombre maximum de ligne linéairement indépendant donc il était inférieur à 2.
Ou encore je me suis dit que la matrice avait 2 colonnes qui sont linéairement indépendante donc à partir du moment où m12 est différent de m21, Im(g)= vect <A1,A2> avec A1 et A2 les colonnes de la matrice et donc que rang g = 2 si m12 différent de m21.
Evidemment ces raisonnements sont faux et doivent vous donner mal aux yeux !
Néanmoins je ne comprends pas vraiment pourquoi
Pourriez-vous m'expliquer cela s'il-vous-plait ? "
Réponse :
Il ne faut pas confondre la matrice image de 
par 
et la matrice représentant l'application linéaire (qui est une matrice 4x4).
Une autre façon de trouver le rang de aurait été, soit d'écrire la matrice associée à et d'en calculer le rang, soit de trouver une base de Im en étudiant 
. On trouve alors une base composée de 3 éléments.
Est-ce plus clair ?
VH