Question : "Après avoir rencontré une difficulté sur le médian A2019 Exercice 2, partie 2 question 4a et après en avoir discuté avec d'autres élèves de MT23 je ne suis pas parvenu à trouver une explication solide.
Dans cette question, on nous demande le rang de g. Dans la correction on s'est appuyé sur le fait que ker f = im g et on connaissait la dimension de ker f.
J'aimerais savoir comment on aurait pu trouver le rang de g sans s'appuyer sur cette donnée.
Quand je me suis fait le raisonnement tout seul je me suis dit que le rang de g était égal au nombre maximum de ligne linéairement indépendant donc il était inférieur à 2.
Ou encore je me suis dit que la matrice avait 2 colonnes qui sont linéairement indépendante donc à partir du moment où m12 est différent de m21, Im(g)= vect <A1,A2> avec A1 et A2 les colonnes de la matrice et donc que rang g = 2 si m12 différent de m21.
Evidemment ces raisonnements sont faux et doivent vous donner mal aux yeux !
Néanmoins je ne comprends pas vraiment pourquoi
Pourriez-vous m'expliquer cela s'il-vous-plait ? "
Réponse :
Il ne faut pas confondre la matrice image de M par g et la matrice représentant l'application linéaire (qui est une matrice 4x4).
Une autre façon de trouver le rang de g aurait été, soit d'écrire la matrice associée à g et d'en calculer le rang, soit de trouver une base de Im g en étudiant g(M). On trouve alors une base composée de 3 éléments.
Est-ce plus clair ?
VH