Médian A19 exercice 2

Médian A19 exercice 2

par Hedou Veronique,
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Question : "Après avoir rencontré une difficulté sur le médian A2019 Exercice 2, partie 2 question 4a et après en avoir discuté avec d'autres élèves de MT23 je ne suis pas parvenu à trouver une explication solide.

Dans cette question, on nous demande le rang de g. Dans la correction on s'est appuyé sur le fait que ker f = im g et on connaissait la dimension de ker f.

J'aimerais savoir comment on aurait pu trouver le rang de g sans s'appuyer sur cette donnée.

Quand je me suis fait le raisonnement tout seul je me suis dit que le rang de g était égal au nombre maximum de ligne linéairement indépendant donc il était inférieur à 2.

Ou encore je me suis dit que la matrice avait 2 colonnes qui sont linéairement indépendante donc à partir du moment où m12 est différent de m21, Im(g)= vect <A1,A2> avec A1 et A2 les colonnes de la matrice et donc que rang g = 2 si m12 différent de m21.

Evidemment ces raisonnements sont faux et doivent vous donner mal aux yeux !

Néanmoins je ne comprends pas vraiment pourquoi

Pourriez-vous m'expliquer cela s'il-vous-plait ? "

Réponse :

Il ne faut pas confondre la matrice image de M par g et la matrice représentant l'application linéaire (qui est une matrice 4x4).

Une autre façon de trouver le rang de g aurait été, soit d'écrire la matrice associée à g et d'en calculer le rang, soit de trouver une base de Im g en étudiant g(M). On trouve alors une base composée de 3 éléments.

Est-ce plus clair ?

VH